ABEL (N. H.)

ABEL (N. H.)

À l’aube du XIX^e siècle, le mathématicien norvégien N. H. Abel allait révolutionner sa science, et Hermite a pu déclarer: «Il a laissé aux mathématiciens de quoi s’occuper pendant cinq cents ans.» D’abord algébriste, il établit l’impossibilité de résolution par radicaux des équations algébriques de degré 閭 5 et sa méthode ouvrait la voie aux travaux de Galois sur les groupes de substitution des racines d’une équation. En analyse, il est le fondateur, avec Jacobi, de la théorie des fonctions elliptiques, et son nom figure, aux côtés de ceux de Gauss et de Cauchy, parmi les législateurs du calcul infinitésimal qui ont assis ce dernier sur des bases solides et rigoureuses.

À une époque où la Norvège était d’une extrême pauvreté par suite des guerres qui l’avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d’une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l’île de Finno/y, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d’Euler et de Lagrange, et manifesta une passion pour les recherches mathématiques. Lorsque, à la mort de son père, Abel, alors âgé de dix-huit ans, vit retomber sur ses épaules la responsabilité matérielle de sa mère et de sa famille, il donna des leçons particulières et dut fournir un travail épuisant pour continuer simultanément ses travaux personnels. Il contracta alors la maladie qui devait l’emporter.

Après une année passée à l’université de Christiania, Abel obtint une bourse pour un voyage d’un an en France et en Allemagne; il partait avec, en poche, son mémoire révolutionnaire sur l’impossibilité de résoudre algébriquement l’équation du cinquième degré, qui aurait dû, semblait-il, lui ouvrir les portes du monde mathématique. Sa première déception fut l’accueil de Gauss, le «prince des mathématiciens», qui mit purement et simplement le mémoire de côté sans le lire! Ici se place un des rares événements heureux de la vie d’Abel: à Berlin, il rencontre A. E. Crelle, fondateur de la célèbre revue de mathématiques Journal für die reine und angewande Mathematik , qui perçoit le génie de son interlocuteur et publie des articles d’Abel dans les premiers numéros de son journal. Ayant encore enrichi son bagage de son mémoire fondamental sur les intégrales abéliennes, Abel arrive à Paris en juillet 1826 pour y rencontrer les plus grands mathématiciens français de l’époque, Cauchy et Legendre, et là encore se heurte à la négligence et à l’incompréhension: Cauchy, chargé de présenter à l’Institut les travaux d’Abel, les égare et ne retrouvera le manuscrit perdu qu’en 1830, après la mort de l’auteur et à la suite d’une démarche diplomatique du consul de Suède-Norvège; il était bien temps alors que l’Académie, faisant amende honorable, décernât à Abel, à titre posthume, ainsi qu’à Jacobi, son grand prix de mathématiques. Ses espérances brisées, Abel, très démuni et profondément atteint d’une tuberculose pulmonaire, rejoignit, après un court séjour à Berlin, la Norvège où il mourut dans sa vingt-septième année, le 6 avril 1829.

Les deux premiers mémoires d’Abel, publiés en 1824 et 1826, concernent la résolution des équations. Pour comprendre toute l’importance du problème à cette époque ^{[cf. ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES]}, rappelons que, dès le XVI^e siècle, les mathématiciens étaient en possession de formules exprimant, au moyen de radicaux portant sur les coefficients de l’équation, les racines d’une équation de degré inférieur ou égal à quatre; pendant trois siècles, tous les efforts pour obtenir des expressions analogues dans le cas de l’équation générale du cinquième degré demeurèrent vains et ce problème était réputé d’une difficulté insurmontable. Presque enfant, Abel avait cru obtenir un tel résultat. Lorsqu’il s’aperçut de son erreur, il s’attacha alors à démontrer avec succès qu’une telle formule n’existait pas. À ce propos, il donne des critères de résolubilité par radicaux et étudie de nouveaux types d’équations, appelées de nos jours équations abéliennes, possédant cette propriété.

Avec le mémoire intitulé Recherches sur les fonctions elliptiques (1827), Abel crée, à peu près simultanément avec Jacobi, mais indépendamment de lui, une branche nouvelle de l’analyse mathématique, la théorie des fonctions elliptiques, et introduit des notions qui se révéleront d’une grande fécondité dans les mathématiques contemporaines. L’intégrale dite elliptique:

où P(t ) est un polynôme du quatrième degré, définit une fonction transcendante qui s’introduit dans la recherche de la longueur d’un arc d’ellipse et qui avait été étudiée par Euler. En 1826, Abel eut l’idée géniale de remplacer l’étude de la fonction u (x ) par celle de la fonction inverse x (u ) et de supposer la quantité u complexe. Grâce à une formule d’Euler, il découvrit alors la double périodicité de la fonction elliptique x (u ): il existe deux nombres complexes 諸¹ et 諸², dont le rapport est imaginaire, tels que:

Plus généralement, Abel introduit des intégrales, dites abéliennes de nos jours, de la forme:

où R(z , u ) est une fraction rationnelle de z et u et où les quantités z et u sont liées par une relation polynomiale P(z , u ) = 0 et démontre un profond théorème de décomposition dont les mathématiciens ne découvriront toute la portée que beaucoup plus tard, après l’introduction par Riemann des surfaces qui portent son nom et les développements de la géométrie algébrique ^{[cf. ANALYSE MATHÉMATIQUE]}.

Le nom d’Abel reste également attaché aux premières tentatives pour asseoir le calcul infinitésimal sur des bases solides. Au début du XIX^e siècle, il régnait une grande obscurité dans l’analyse mathématique; les notions de suites ou de séries convergentes n’étaient pas établies avec précision et les mathématiciens ne se préoccupaient guère de la validité des calculs qu’ils effectuaient. Le malaise d’Abel devant cette situation s’exprimait en ces termes dans une de ses lettres: «Dans l’analyse supérieure, peu de propositions sont démontrées avec une rigueur péremptoire. Partout on trouve la malheureuse méthode de raisonnement consistant à conclure du particulier au général, et c’est un miracle que, malgré cela, on ne tombe que rarement sur ce qu’on appelle des paradoxes.» La plupart des fonctions étudiées à cette époque étaient sommes de séries entières: Abel établit avec précision les propriétés du cercle de convergence, et démontre le théorème de continuité qui porte son nom (cf. SÉRIES ET PRODUITS INFINIS, FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions analytiques d’une variable complexe); dans un mémoire posthume, il introduit également des critères logarithmiques de convergence des séries.

La démarche essentielle de la pensée d’Abel (qu’il appelle «méthode générale»), non seulement s’oppose à la méthode, souvent pratiquée jusqu’alors et critiquée dans la lettre citée ci-dessus, de passage du particulier au général, mais se traduit par une recherche systématique de la démonstration minimale la plus adaptée à la nature du problème posé: «Avant Abel la pureté de la méthode n’est qu’un luxe de l’exposition mathématique, mais avec lui elle devient l’instrument même de l’analyse» (J. Vuillemin, La Philosophie de l’algèbre ).

Encyclopédie Universelle. 2012.